ELS NOMBRES AL LLARG DE LA HISTÒRIA

La proporció àuria

 

La raó àuria, secció àuria o divina proporció és la relació que guarden dos segments a i b (o per extensió, la que guarden dues quantitats a i b) si entre el total i el segment major hi ha la mateixa relació que entre el segment major i el segment menor, o, en altres paraules, si el tot és al segment major igual que el major és al segment menor. Anomenant a al segment (o nombre) major i b al menor, la formulació matemàtica de la definició es pot escriure com:

 

 

 

 

 

 

El quocient d'aquestes dues quantitats resulta ser un nombre irracional conegut com a nombre auri o nombre d'or, i designat habitualment per la lletra grega Φ o φ (fi) en honor a Fídies[1], escultor i arquitecte grec del Partenó, o menys freqüentment amb τ (tau):

 

 

Les formes definides amb la raó àuria han estat molt sovint considerades estèticament agradables en la cultura d'occident, de manera que la proporció divina s'ha usat freqüentment al llarg de la Història en l'art i el disseny. Òbviament, també s'ha usat la inversa de la raó àuria Φ-1. A vegades s'utilitza la fi minúscula (φ) per aquest valor quan s'utilitza la majúscula per l'anterior.

 

 

 

 

 

 

 

Però la raó àuria també és coneguda perquè la trobem a la natura, i és possiblement el fet que aparegui en els llocs més insospitats, conjuntament amb una sèrie de curioses propietats matemàtiques, el que ha fet que rebés la qualificació (metafòrica) de "proporció divina".

 

 

 

 

 

El nombre Phi a Grècia

 

Pitàgores és el primer que planteja la idea què els nombres són la base i l’explicació de tot, són el que regeixen el món; considera que tot es pot numeritzar i que, per tant, els nombres són l’essència de l’Univers. Per exemple, se n’adona que la vibració de les cordes es pot numeritzar, de la mateixa manera que les òrbites dels planetes. Això l’impacta tant que arribarà a la conclusió que la relació entre la música i els planetes són els propis nombres, i per tant, veurà els nombres com l’essència de tot. A més, va crear una mitologia entorn dels nombres, on el 3 representava Déu. Amb Pitàgores, doncs, neix l’esperit de trobar una relació numèrica per explicar l’existència, l’entorn. I és aquí on enllaça amb el tema de la proporció divina.

 

Per a Plató[2] les proporcions anaven més allà, tenien un significat filosòfic-teològic. Plató deia ”Deu sempre fa geometria”. Així doncs, considera les proporcions des del punt de vista estètic i especulatiu, les veu com un principi universal.

 

Euclides d’Alexandriaen el seu tractat “Els Elements”, tracta per primera vegada la proporció harmònica, proporció àuria o raó d’or. Euclides diu que un rectangle tanca la màxima bellesa si resulta similar a un altre format pel seu costat mes gran i la suma d’ambdós costats.

 

Hipsicles[4], als voltants del 150 aC, va escriure sobre els poliedres regulars, on, seguint a Euclides, tracta sobre la inscripció de cossos regulars dins d’una esfera. La relació àuria estava entre aquestes construccions. Com hem vist fins ara, la proporció àuria es considerava com una propietat geomètrica, sense intents d’associar aquestes relacions a cap nombre. Anys més tard, Heró començarà a calcular relacions aproximades, i juntament amb Ptolomeu, desenvoluparan les primeres taules trigonomètriques.

 

 

L'aportació àrab

 

S’ha de tenir en compte també la decisiva aportació del món àrab, molt desenvolupat en àlgebra. Al-Khwaritzmi[5] plantejà diversos problemes sobre la divisió d’una línia de longitud 10 en dues parts, i en un d’aquests problemes surt una equació quadràtica per a la longitud de la part més petita d’aquesta línia, dividida en la proporció àuria, malgrat que no hi ha cap esment sobre aquesta proporció.

 

Abu Kamil[6] va obtenir unes equacions similars dividint una línia de longitud 10 de diferents maneres. Dues d’elles estan relacionades amb la proporció àuria, però tampoc està clar que Abu Kamil en fos conscient.

 

 

A l'Edat Moderna[7]

 

Leonardo de Pisa, més conegut com a Fibonacci, recopila tots aquests coneixements de manera deliberada i els relaciona directament amb la proporció àuria (o divina proporció) en el seu llibre Liber Abaci[8].

 

Per la seva banda, Luca Pacioli  va ser el primer que adoptà la denominació de proporció divina per designar la proporció àuria. Això ho va fer en el llibre La Divina Proporció[9]. Pacioli l’anomenà així perquè considera que aquesta proporció té propietats equiparables a Déu. Afirma, sense intentar provar-ho, que la proporció divina no pot ser racional. Aquest llibre, però, no aporta grans novetats en quant a conceptes matemàtics.

 

 

Pacioli es va aturar en la investigació d’aquestes propietats en arribar a la tretzena (número de comensals en el Sant Sopar) per por a que, si seguia, posaria al mateix nivell de la proporció divina a Déu, i això el faria anar a l’infern. Així, doncs, va deixar sense estudiar moltes propietats que s’estudiarien més endavant. I una mostra de la divinització de la proporció àuria és que la natura, quan “és perfecta”, conforma les seves criatures segons aquesta divina proporció (ex: l’home de Vitruvi[10], de Leonardo da Vinci).

 

El primer càlcul de la relació àuria en forma decimal data del 1597, i es troba en una carta que el professor Michael Maestlin va escriure al seu antic alumne Kepler. El sentit místic de la proporció àuria va atraure molt a Kepler, així com també la seva relació amb els cossos regulars. Els seus tractats sobre el tema barrejaven les matemàtiques i la màgia.

 

 

Aplicacions del nombre auri[11]

 

 

Phi a l'art

 

Aquest nombre el podem trobar representat en l’art, més concretament en els quadres. Un dels grans pintors, Leonardo da Vinci[12], és un exemple d’aquest fet. Leonardo va destacar com a artista, però també tenia coneixements matemàtics molt importants i, per aquesta raó, va representar en molts dels seus quadres aquest nombre. Els quadres més importants on podem observar aquest fet són la Gioconda, L’home de Vitruvi, Isabel d’Este i L’Anunciació.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Per poder introduir aquest nombre dins dels quadres, utilitzaven els rectangles auris o les relacions entre longituds destacades. Va ser Leonardo da Vinci qui primerament va descobrir que en el cos humà hi ha una relació àuria: la relació entre l’altura de l’home i la distància del melic a la punta de la mà, lleugerament aixecada a l’altura del cap, és el nombre auri . Al segle XX, Le Corbusier va basar el sistema de proporcions humanes, el Modulor  en el nombre auri. D’aquesta manera també podem dir que l’home té diverses relacions àuries entre les diferents longituds del seu cos.

 

 

Phi a la natura

 

Un dels aspectes més destacats és que aquest nombre també el podem trobar a la natura. Per exemple, podem trobar aquest nombre en forma d’una espiral logarítmica en els cargols i en els cargols de mar representat en la closca . A diferencia dels primers exemples, també podem trobar representat aquest nombre en diverses espirals logarítmiques, com és el cas de la coliflor, la pinya i algunes flors. Una altra forma de manifestar-se el nombre auri en la natura és la representació de la successió de Fibonacci. Finalment també podem trobar-lo en la relació de les diferents longituds d’algunes fulles i flors.

 

 

Phi a l'arquitectura

 

De la mateixa manera que el nombre auri apareix en l’art, aquest torna a sortir en l’arquitectura. Una de les grans obres arquitectòniques on podem observar el nombre auri és el Partenó , i també en la tomba de Mira.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Phi a la vida diària

 

Finalment, en molts objectes quotidians també podem trobar la relació àuria de diverses formes: per l’extrema i mitjana raó de dues de les seves longituds, per la formació d’un clar rectangle amb relació àuria, o bé perquè aquest objecte es pot emmarcar en un rectangle amb proporció àuria. Podem trobar diferents casos: un elegant gerro que fou creat per Johan Rohde l’any 1920, una cafetera d’alumini de l’any 1934, el respatller d’una cadira de Charles i Ray Eames creada l’any 1946, una ràdio totalment àuria, i fins i tot el flascó del perfum Chanel núm. 5.

 

Podem dir que determinats objectes tenen una relació àuria estandarditzada i això passa en el cas del DNI, la targeta de metro i de crèdit, la targeta d’identificació d’un mòbil, etc. La cara d'enfront d'un paquet de tabac també es un rectangle auri, i també s'utilitza en la construcció de finestres i llits.

Fig.30 Phi en una targeta de crèdit

 

 

 

 

[1] Més informació sobre Fídies: http://ca.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADdies

 

[2] Per ampliar informació de Plató: http://www.webdianoia.com/platon/platon_bio.htm

 

[3] Més informació d'Euclides a: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euclid.html

 

[4] Vida i treballs d’Hipsicles: http://campodocs.com/articulos-noticias-consejos/article_139650.html

 

[5] Més informació a: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/alkhwarizmi.htm

 

[6] Biografia d’Abu Kamil a: http://en.wikipedia.org/wiki/Ab%C5%AB_K%C4%81mil_Shuj%C4%81%CA%BF_ibn_Aslam

 

[7] Per ampliar informació: http://www.digits.cat/colaboracions/la-proporcio-divina

 

[8] Fibonacci: http://ca.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa

 

[9] Pacioli i la divina propoció: http://revistasuma.es/IMG/pdf/61/107-112.pdf

 

[10] Més informació a: http://www.portalplanetasedna.com.ar/divina_proporcion.htm

 

[11] Informació extreta de: http://wiki.matadejonc.cat/mediawiki/El_nombre_d'or

 

[12] Leonardo da Vinci: http://ca.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci