ELS NOMBRES AL LLARG DE LA HISTÒRIA

El teorema de Pitàgores a Babilònia

 

Els rastres més antics de la relació entre les longituds dels costats d'un triangle rectangle es pot considerar que es troben en la inscripció de ternes pitagòriques[1]. Es tracta de ternes de nombres naturals (a, b, c) que satisfan la relació a2+b2=c2. S'han trobat a tauletes babilònies, sobretot a la tauleta Plimpton 322[2] datada del XVIII aC, o sigui més de 1.000 anys abans de Pitàgores.

 

 

El teorema de Pitàgores a Xina

 

Paral·lelament al desenvolupament de les matemàtiques gregues, el teorema apareix a la Xina en el Zhoubi suanjing[3] («El Gnòmon dels Zhou» ), una de les obres matemàtiques xineses més antigues. Escrit probablement durant la dinastia Han (206 a 220), reagrupa tècniques de càlcul que daten de la dinastia Zhou.

 

El teorema o procediment s'enuncia de la manera següent: «Reunint l'àrea (mi) de la base (gou) i l'àrea de l'alçada (gu) s'engendra l'àrea de la hipotenusa».

 

Però la qüestió és saber si aquest teorema o procediment és proveït o no d'una demostració. Sobre aquest punt hi ha divisió d'opinions (Chemla Shuchun, p. 681). El teorema, sota el nom de Gougu (a partir de les paraules «base» i « altitud »), és reprès en el Jiuzhang suanshu[4] (Els nou capítols sobre l'art matemàtic -100 a 50), amb una demostració, utilitzant una partició i una reconstitució, que no s'assembla en res a la d'Euclides i que prova l'originalitat del camí xinès.

 

 

El teorema de Pitàgores a Grècia

 

El teorema, acompanyat d'una demostració, apareix al començament del segle III en els Elements[5] d'Euclides (proposició XLVII) amb la següent forma: «En els triangles rectangles el quadrat del costat oposat a l´angle recte és igual a la suma dels quadrats dels costats que comprenen a l´angle recte».

 

El seu recíproc és la proposició XLVIII: «Si en un triangle el quadrat d´un dels costats és igual a la suma dels quadrats dels dos costats restants, aleshores l´angle comprès pels dos costats restants del triangle és recte».

 

Els comentaris de Procle (al voltant de l'any 400) semblen indicar que Euclides no hauria fet més que transcriure una demostració més antiga que Procle atribueix a Pitàgores. Tanmateix, les proves històriques de la vida de Pitàgores són tan rares que no se li pot atribuir amb certesa la paternitat d'aquesta demostració.

 

 

El teorema de Pitàgores: demostració

 

Segons l'enunciat del teorema de Pitàgores, aquest diu que en un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets. si anomenem c, a la hipotenusa i b i a als catets el teorema queda: a2+b2=c2.

 

Considerem dos quadrats iguals. Descomponem el primer en dos rectangles iguals (de costats b i c), i en dos quadrats (de costats b i c). Descomponem el segon en quatre triangles rectangles iguals (de catets b i c, i d'hipotenusa a) i un quadrat (de costat a).

 

 

 

 

 

 

 

 

Els quatre triangles rectangles equivalen als dos rectangles de la primera figura, n'hi ha prou amb fer les diagonals per veure-ho més clar. Llavors l'àrea dels dos quadrats de la primera figura (la suma dels quadrats dels catets), és equivalent a l'àrea del quadrat de la segona figura (el quadrat de la hipotenusa). Amb això queda demostrat el teorema de Pitàgores.

 

 

Pitàgores a la societat d'avui dia

 

Està molt bé saber la història i quines aplicacions tenen matemàticament els teoremes, però, millor encara és conèixer les aplicacions reals. Aquestes són algunes de les aplicacions i de llocs on podem trobar un ús pràctic del teorema:

 

 

Arquitectura i Construcció

 

L'aplicació més òbvia del Teorema de Pitàgores està en el món de l'arquitectura i la construcció d'edificis , sobretot en referència als sostres i teulades en forma de triangle. El teorema s'aplica només quan es tracta amb triangles rectangles o triangles amb un angle de 90 graus.

 

 

Navegació

 

Els telèfons mòbils poden ser rastrejats a través de la triangulació. La triangulació és un mètode utilitzat per a la localització d'un lloc quan es coneixen dos punts de referència. Quan s'usa la triangulació amb un angle de 90 graus, el teorema de Pitàgores s'utilitza per determinar la ubicació. Els sistemes de navegació d'automòbils també utilitzen aquest mètode[7]. La triangulació també es pot utilitzar en conjunció amb una brúixola per determinar la ubicació geogràfica d'un objecte.

 

La NASA també utilitza la triangulació per determinar la posició de una nau espacial: envia un senyal a la nau que després rebota el senyal de tornada. La triangulació utilitza aquestes xifres per calcular la posició de la nau en l'espai.

 

 

Ubicació de l'epicentre d’un terratrèmol

 

Per triangulació de la distància recorreguda per les ones més ràpides amb la recorreguda per les ones més lentes, els geòlegs poden determinar el centre o la font del terratrèmol.

 

 

Investigació de l'escena d'un crim

 

Els investigadors forenses utilitzen el teorema de Pitàgores per determinar la trajectòria de la bala. La trajectòria de la bala mostra el camí de la bala que va prendre abans de impactar. Aquesta trajectòria li diu a la policia  la zona d'origen de la bala. Els investigadors també poden endevinar la distància entre el tirador i la víctima. Això pot ajudar a la policia a determinar si una mort ha estat un suïcidi o un homicidi. Proves d'esquitxades de sang també pot ser analitzades amb el Teorema de Pitàgores. Les esquitxades de sang són el rastre de sang d'una víctima després d'un assalt. La policia utilitza aquests càlculs per determinar l'angle d'impacte i la posició de la víctima i l'agressor durant l'assalt.

 

 

Trajectòria de fletxes o míssils

 

Els arquers podien haver utilitzat el teorema de Pitàgores per determinar la trajectòria correcta necessària per assolir un objectiu. Si els càlculs eren exactes, la fletxa colpejava. Si no, la fletxa podia quedar curta o fallar l'objectiu. Sistemes de míssils guiats utilitzen un mètode similar per colpejar amb precisió els seus objectius

 

 

 

[1] Ternes pitagòriques: http://www.xtec.cat/~voliu/pitagores/ternes_pitagriques.html

 

[2] La tauleta Plimpton 322: http://www.arrakis.es/~mcj/p322.htm

 

[3] Més informació (en anglès) a: http://en.wikipedia.org/wiki/Zhou_Bi_Suan_Jing

 

[4] Per ampliar: http://ca.wikipedia.org/wiki/Els_nou_cap%C3%ADtols_de_les_arts_matemàtiques

 

[5] Elements d’Euclides: http://www.euclides.org/menu/elements_cat/indexeuclides.htm

 

[6] Més informació a: http://ca.wikipedia.org/wiki/Pitàgores

 

[7] Pitàgores i GPS: http://www.deif.org/blog/calcular-distancia-a-partir-de-datos-gps