ELS NOMBRES AL LLARG DE LA HISTÒRIA

 

Els nombres reals

 

 

A matemàtiques, un número real és qualsevol valor que es pugui representar a una línia continua sense principi ni final. Aquests nombres inclouen tots els racionals i els irracionals. Es representen amb el símbol R. Aquestes descripcions dels nombres reals no són prou rigoroses per als estàndards moderns de la matemàtica pura. Així, el descobriment d'una definició adequada i rigorosa dels nombres reals - de fet, la consciència que calia una millor definició - va ser un dels esdeveniments més importants de les matemàtiques del segle XIX.

 

Tipus de nombres reals

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Racionals

 

Un nombre racional és qualsevol nombre que pot ser expressat com el quocient o fracció de dos nombres enters p i q, amb el denominador q diferent de zero (p/q). Atès que q pot ser igual a 1, cada nombre enter és un nombre racional. El conjunt de tots els nombres racionals es denota generalment per Q. La denominació i distinció entre racional i irracional comença a ser necessària a partir de la descoberta del primer nombre irracional. Els nombres racionals poden ser enters o fraccionaris.

 

 

Enters

 

Són nombres que es poden escriure sense un component fraccionari. Per exemple, 21, 4, i -2.048 són nombres enters, mentre que 9’75, 5 ½, i √2 no ho són. El conjunt dels enters consta de zero (0), els números de comptatge (1, 2, 3, ...) i els seus inversos additius (els nombres enters negatius, és a dir, -1, -2, -3, ...). El conjunt de tots aquests nombres  es denota per Z.

 

 

 

 

 

Naturals

 

Els nombres naturals són els que s'utilitzen per a comptar i ordenar. Són nombres naturals els nombres enters positius, és a dir, més grans que zero.

 

 

Enters negatius

 

Un nombre negatiu és un nombre real menor que zero. Aquests nombres es fan servir sovint per representar una pèrdua o absència. Per exemple, un deute que s'ha de retornar pot ser pensat com un negatiu, o una disminució en alguna quantitat pot ser pensat com un increment negatiu. Els nombres negatius també s'utilitzen per a descriure els valors en una escala que va per sota de zero (ex: escala de temperatura Celsius i escala Fahrenheit).

 

Els negatius a l’Índia

 

Els nombres negatius no van aparèixer a l’Índia fins al segle VII dC. Va ser en l'obra de Brahmagupta[1] (598-670), qui va usar les idees de 'fortuna' i 'deutes' per positiu i negatiu. En aquest moment es va establir un sistema basat en la col · locació de valors a l'Índia, amb el nombre zero que s'utilitza en el sistema indi.

 

 

Els negatius a la Xina

 

La primera referència que es coneix dels nombres negatius la van fer els xinesos, cap a l'any 200 aC. Aquests, utilitzaven un sistema on els nombres positius eren representats en vermell i els números negatius en negre.

 

Aquests nombres van ser molt utilitzats per als càlculs comercials i fiscals. La quantitat venuda era la positiva (a causa de la recepció de diners) i la quantitat que es gasta en la compra d'alguna cosa que era el negatiu (perquè s'havia  de pagar).

 

 

Els negatius a la Grècia Antiga

 

Els antics grecs no van abordar realment  el problema dels nombres negatius, a causa que la seva matemàtica era fonamentada en les idees. Tot i això, sobre l’any 300 aC, el matemàtic alexandrí Diofant (200 aC – 284 dC) va escriure la seva Arithmetica, una col·lecció de problemes on va desenvolupar tota una sèrie de símbols per a representar el 'desconegut'.

 

 

Fraccionaris

 

Una fracció simple és un nombre racional escrit com , on a i b són dos nombres enters. Quan es divideix el numerador entre el denominador ens dona un número decimal. Les fraccions simples poden ser classificades d'una forma senzilla entre les que al dividir el numerador i el denominador donen un número exacte i les que donen un número amb decimals infinits.

 

Les fraccions egípcies

 

Les operacions amb fraccions constitueixen un element particular de les matemàtiques egípcies. Segurament el fet que no utilitzessin moneda i que tot el seu comerç es fonamentés en l'intercanvi, feia necessari una gran exactitud en el càlcul. Segurament també, el fet que la duplicació i la divisió entre 2 fos l'element fonamental del seu mètode per multiplicar i dividir va fer que utilitzessin en les seves operacions nombres fraccionaris. Un element important a tenir en compte és que els egipcis només utilitzaven fraccions amb numerador unitat. Qualsevol altra fracció la descomposaven en sumes de fraccions amb un 1 en el numerador i denominadors diferents.

 

Els egipcis resolien problemes de la vida diària mitjançant operacions amb fraccions. Entre elles hi havia la distribució del pa, el sistema de construcció de les piràmides i les mesures utilitzades per estudiar el planeta Terra. Això ho podem comprovar en nombroses inscripcions antigues com el papir d'Ahmes[3]. Bàsicament, la fracció sorgeix en un context de mesura i en un altre de repartiment.

 

 

 

 

 

 

 

 

Els egipcis van utilitzar un sistema molt antic per representar fraccions en mesures agràries de superfície i volum, basat en les divisions per dues de 1/2. Els signes de les fraccions més grans van ser presos de les parts que componien el jeroglífic de l'Ull d'Horus[4]

 

Explica la llegenda que un aprenent d'escriba va assenyalar al seu mestre que el total de les fraccions de l'ull d'Horus no sumava una unitat, sinó 63/64. La resposta del mestre va ser que Thot restituiria la part restant de 1/64 a qualsevol que busqués i acceptés la seva protecció. L'historiador grec Heròdot (484-425 aC) explica en la seva Història, que el rei va dividir el país entre tots els egipcis donant a cadascun una parcel·la de terra d'iguals proporcions i el va convertir en la seva pròpia font d'ingressos, fixant el pagament d'un impost anual.

 

 

Les fraccions a l'Índia

 

Van ser els hindús, al segle VI dC, els qui van establir les regles de les operacions amb fraccions. Durant el període alexandrí tardà, el costum grec d'escriure les fraccions usuals posant el numerador sota el denominador es va invertir, i aquesta és precisament la forma que van adoptar els hindús, sense la barra que els separa.

 

Desgraciadament els hindús no van aplicar el nou sistema de numeració per als enters al camp de les fraccions decimals, i així es va perdre l'avantatge potencial més important del canvi de la notació de tipus jònic.

 

Les regles per a la resolució de les operacions amb nombres fraccionaris o trencats, daten de l'època d'Aryabhata, segle V dC, i Bramagupta, segle VII dC. Un estudi més ampli i sistemàtic de les operacions amb trencats van oferir els també hindús, Mahavira, al segle IX dC, i Bhaskara[5] al segle XII dC. Aquestes regles són les mateixes que s'empren actualment.[6]

 

 

 

Irracionals

 

Un nombre irracional és qualsevol nombre real que no pot ser expressat com una relació de nombres enters. Això significa que un nombre irracional no pot ser representat com una fracció simple. Com a conseqüència de la prova de Cantor[7], on es dedueix que els nombres reals són incomptables (i els racionals comptables), es desprèn que gairebé tots els nombres reals són irracionals.

 

Alguns dels nombres irracionals més coneguts són: l'arrel quadrada de dos (√2), la relació de la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre (π), el nombre d'Euler (e), el nombre d’or o proporció àuria (φ).

 

 

Els irracionals a la Grècia Antiga

 

La primera prova de l'existència dels nombres irracionals se sol atribuir a un pitagòric (possiblement Hipaso[8] de Metaponto), que, probablement, els va descobrir mentre identificava els costats de l'estrella de cinc puntes. Hipaso, al segle cinquè aC, va ser capaç de deduir que no havia fet cap unitat de mesura comuna, i que l'afirmació de tal existència era, de fet, una contradicció. Ho va fer demostrant que si la hipotenusa d'un triangle rectangle isòsceles era en veritat commensurable amb un costat, la unitat de mesura ha de ser alhora parell i imparell, la qual cosa és impossible .

 

 

Els irracionals a la Índia

 

Problemes geomètrics i matemàtics en els que s'usen nombres irracionals com arrels quadrades es van abordar molt d'hora durant el període vèdic a l'Índia. De fet, es fa referència a aquest tipus de càlculs al Brahmanas[9] i més notablement en els Sulbha[10] (800 aC o anterior).[11] Se suggereix que Aryabhata, en el càlcul d'un valor de pi a 5 xifres significatives, va utilitzar la paraula āsanna (s'acosta), en el sentit que no només és una aproximació, però que el valor és incommensurable (o irracional).

 

Més tard, en els seus tractats, els matemàtics indis van escriure en l'aritmètica dels irracionals, incloent suma, resta, multiplicació, la racionalització, així com la separació i extracció d'arrels quadrades.[12]

 

 

 

Nombres especials

 

Dintre dels nombres reals hi ha tota una sèrie de nombres que per les seves característiques hem anomenat “nombres especials”. Aquí teniu aquells que ens han cridat més l’atenció:

 

Taula de nombres especials

 

 

Nombres imaginaris / nombres complexos

 

Els termes de “nombre imaginari” i de “nombre complex” estan íntimament lligats. És aquesta la raó per la qual he decidit tractar-los tots dos en un mateix punt.

 

 

 La unitat imaginària

 

La unitat imaginària és aquella que equival al nombre imaginari i, és a dir, a l'arrel quadrada de -1; i= . L'arrel quadrada d'un nombre normalment presenta dos possibles solucions, una negativa i una positiva, excepte quan ens trobem davant d'un nombre negatiu; aquestes arrels quadrades de nombres negatius no es poden representar utilitzant els números reals, per això que s'utilitza i i -i per poder arribar a una solució.

 

 

Els nombres imaginaris

 

Un nombre imaginari és un nombre que es pot escriure com un nombre real multiplicat per la unitat imaginària i.

 

 

 Els nombres complexos

 

Un nombre complex és un nombre que pot expressar-se en la forma a+bi, on a i b són nombres reals i i és la unitat imaginària, que satisfà l'equació i2=-1. En aquesta expressió, a i b son la part real, mentre que i és la part imaginària del nombre complex. Els nombres complexos estenen el concepte de representació quan utilitzen un eix per representar un nombre real i l'altre (en cas de que sigui en dos dimensions) per representar la seva part imaginària. El nombre complex a+bi es pot identificar amb el punt (a, b) en el pla complex.

 

Els inicis dels nombres complexos

 

Encara que el matemàtic i enginyer grec Heró d'Alexandria s'apunta com el primer en haver concebut aquests nombres, Rafael Bombelli és el primer que estableix les regles per a la multiplicació de nombres complexos en 1572. El concepte havia aparegut a la premsa abans, per exemple en els treballs fets per Gerolamo Cardano. En aquest moment històric, els nombres complexos van ser mal entesos i considerats per alguns com nombres ficticis o inútils, tal i com el zero i els nombres negatius ho van ser abans. Molts altres matemàtics van trigar a adoptar l'ús dels nombres imaginaris, entre ells René Descartes, qui va escriure sobre ells en el seu llibre La Géométrie, on va utilitzar el terme imaginari en forma despectiva. L'ús dels nombres imaginaris no va ser àmpliament acceptat fins que es van publicar els treballs de Leonhard Euler (1707-1783) i Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

 

 

 

 

 

 

[1] Informació sobre l’autor i la seva obra a: http://es.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta

 

[2] Més informació sobre Diofant a: http://es.wikipedia.org/wiki/Diofanto_de_Alejandr%C3%ADa

 

[3] Informació sobre el papir d’Ahmes: http://es.wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Ahmes

 

[4] Més informació sobre l’ull d’Horus a: http://ca.wikipedia.org/wiki/Ull_d%27Horus

 

[5] Es pot trobar més informació sobre Bhaskara a: http://es.wikipedia.org/wiki/Bhaskara_II

 

[6] Hi han hagut més civilitzacions que estudiaren les fraccions. Podeu trobar informaciíó a:

http://www.math.tamu.edu/~dallen/history/gr_count/gr_count.html

http://nrich.maths.org/2515

 

[7] Per conèixer aquesta prova: http://ca.wikipedia.org/wiki/Diagonalització_de_Cantor

 

[8] Biografia d’Hipaso a: http://es.wikipedia.org/wiki/Hipaso_de_Metaponto

 

[9] Què era Brahmanas a: http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmana

 

[10] Els Sulbha a: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Indian_sulbasutras.html

 

[11] Indian Journal of History of Science, 25 (1-4), 199).

 

[12] Datta, Singh, Indian Journal of History of Science, 28 (3), 1993).