ELS NOMBRES AL LLARG DE LA HISTÒRIA
Quin ha estat el paper dels nombres en el desenvolupament de la civilització?
L'infinit
L’infinit a l'Antiga Grècia
La història de l'infinit comença a l'Antiga Grècia, ja que, històricament, van ser ells els que es van preguntar per primer cop per l'il·limitat. Aquest concepte de il·limitat, indefinit i infinit va ser anomenat com apeiron, i va ser utilitzat per intentar explicar què era la matèria pel seu creador, Anaximandre[1].
Pels grecs, el caos gràcies al qual va ser format el món era infinit. Segons Aristòtil, era l'absència de límit, mentre que per altres com Pitàgores aquest simplement no existia.
La incapacitat dels grecs de no poder assimilar el concepte d'infinit va ser el que va causar que arribés un punt on les seves matemàtiques s'estancaven. Encara que van crear moltes teories i teoremes per intentar explicar el concepte, la majoria eren un intent de negar la seva existència.
L’infinit a l'Índia
El text matemàtic indi Surya Prajnapti[2] classificava els nombres en tres categories: nombres numerables, innumerables, i sorprenentment, nombres infinits. Tanmateix, el text classificava els nombres infinits en tres classes: propers a infinit, verdaderament infinits, i en infinitament infinits. El text, a part, distingia entre dues paraules, asamkhyata, que significava incontable, i ananta, que es definia com "sense fi" ( en anglès, unlimited).
L’infinit als països àrabs
Hereus d'una civilització que no va poder trobar un significat a l'inacabable, els àrabs es van convertir en els custodis del coneixement grec i de les seves matemàtiques, particularment en l'àlgebra. Encara així, el concepte d'infinit hauria d'espera mil anys per tornar a ser qüestionat[1].
L'infinit europeu
Seguint els àrabs, els matemàtics europeus van començar a treballar també amb l'irracional, encara que confonien el concepte d'infinit, un concepte oblidat durant més de mil anys.
No va ser fins l'any 1639 quan Gérard Desargues, un matemàtic e enginyer francès, va introduir la idea de l'infinit a la geometria.
En 1655 es produeix un altre punt d'inflexió, quan el matemàtic anglès John Wallis utilitza per primera vegada el símbol d'infinit: una corba sense principi ni final-anomenada lemniscata-, que es pot recórrer una i altra vegada.
L'últim del que es té constància que parlà de l'infinit va ser Georg Cantor l'any 1874. Encara que va morir boig, va ser el primer en plantejar-se infinits majors o menors, i el primer en plantejar les primeres teories i teoremes per intentar explicar aquest nombre.
A l'any 1904 es va formular el teorema del continuo (The axiom of Choice[2]) com a tal en la distingida revista Annales Mathematicsche, teoria que havia estat en ús durant més de vint anys. Curiosament, tot i que s'havia utilitzat moltes vegades anteriorment, no havia estat declarat oficialment com a tal.
L’infinit a l'actualitat
Més enllà de l'infinit matemàtic i l'infinit físic, es parla de l'existència d'un infinit filosòfic. Hi ha científics que mantenen i es postulen en l'existència de tots tres, mentre que n'hi ha d'altres que afirmen que tots tres són falsos, cap d'ells existeix.
Infinit a la filosofia
A la filosofia i la teologia, el concepte d'infinit s'atribueix a la idea de dimensions infinites. En aquestes dues branques, la infinitat és explorada en temes i articles com the Ultimate o the Absolut.
Actualment, les grans discussions sobre l'infinit[3] són majoritàriament considerades per les matemàtiques, i la majoria de filòsofs eviten el tema. Una excepció va ser Wittgenstein, qui va fer un apassionat atac a la teoria axiomàtica de conjunts i sobre la idea de infinit actual. Ell creia que "infinit" era una forma donada a l'experiència, tal com ens diu en la frase següent:
"Puc veure a l'espai la possibilitat de qualsevol experiència finita... reconeixem la essència infinita de l'espai només en la seva part més petita. El temps és infinit de la mateixa manera que les tres dimensions de vista i moviment són infinites, encara que només puc veure el que em permeten les parets de la habitació."[4]
Infinit a la teologia
L'infinit teològic no es concep com infinit en si mateix, sinó que més aviat es juga amb “il·limitat” o “indeterminat”. Si imaginéssim un conjunt de capses, l'infinit matemàtic significaria un nombre infinit d'elles; l'infinit teològic, en canvi, no es pot mesurar en capses, ja que aquest no es una prolongació d'un nombre finit. Descartes, utilitza aquesta comparació per diferenciar infinit e indefinit. Segons la seva idea, l'infinit matemàtic seria més pròpiament anomenat indefinit, ja que només Déu seria infinit. D'aquesta forma és com Descartes diu que, encara que hi ha altres coses a part de Déu que són aparentment sense límits, tenen un final, i segons ell, només la immensitat de Déu no pot tenir límits.
Per a Leibniz pot haver alguna cosa que doni suport a la idea que l'infinit de Déu és d'un tipus diferent que l'infinit matemàtic. Leibniz[5] rebutja l'infinit actual, en el sentit d'un tot realment existent format per un nombre infinit de parts: aquesta concepció, diu, és d'ús exclusiu en les matemàtiques. L'anàlisi infinit de conceptes pot ajudar a demostrar que l'infinit de Déu és un tipus diferent de coses. Aquest anàlisi infinit és per a nosaltres un potencial infinit. De la mateixa manera, una línia té un nombre infinit de punts, però aquests punts són per nosaltres només en potència. Com aquest nombre infinit de punts té un ús en matemàtiques, de la mateixa l'anàlisi infinit d'un concepte és d'ús en la metafísica: l’infinit és real en el sentit que pot ser captat per nosaltres de forma simultània en la seva totalitat. Déu, en canvi, és capaç de captar el concepte complet d'una cosa.
La idea de l'infinit teològic, que fonamenta l'infinit matemàtic, és una idea d'un atribut de Déu. És a dir, Déu és infinit , i altres qualitats de Déu estan en Déu de la manera apropiada per a un ésser infinit. Les qualitats són determinades i limitades per la naturalesa de l'ésser en el qual són inherents. En un ésser infinit, no hi ha cap limitació.[6]
Infinit a les matemàtiques
L'infinit real de Cantor no és el mateix que l'infinit d'Aristòtil[7], encara que Cantor[8] el representi com a tal. Aristòtil no estava parlant d’un nombre, sinó d’un cos - la física en lloc de les matemàtiques. D'altra banda, l’infinit real de Cantor és, en principi, construïble per mitjà d'una regla o procés[9]. Mentre que per a Aristòtil l'infinit ha de ser només com aquesta regla infinitament repetible o procés, l'infinit actual de Cantor podria ser vist com la culminació d'un procés d'aquest tipus. Això no és per suggerir que l'infinit real es defineix per qualsevol procés únic de construcció, sinó més aviat que l'infinit real pot ser vist com el que resultaria de la repetició sense fi d'un procés.
En qualsevol cas, aquest procés requereix un `salt subjuntiu': l'infinit real no és en realitat el resultat de repetir el procés un nombre infinit de vegades, sinó que representa el que resultaria de repeticions infinites. De la mateixa manera, l'expressió matemàtica de la paradoxa de Zenó[10] convergeix a 1, però la determinació d'aquest límit no requereix en realitat la suma de la suma infinita, el límit que diu el que el resultat que s'obtindria si s'hagués afegit la suma infinita.
Cantor afirma que la distinció segueix sent entre els tipus d'infinit: hi ha multiplicitats consistents, que són conjunts infinits, com els conjunts d'enters; i hi ha multiplicitats inconsistents. Aquests són els conjunts infinits que d'una manera o una altra causen problema. No sembla probable, però, que els conjunts inconsistents de Cantor apuntin a una altra espècie d'infinit, o un problema sobre l'infinit com a tal. La paradoxa de Cantor i els seus afins no depenen en absolut de la mida del seu domini (que es poden establir també per conjunts finits). És a dir, si no pot haver conjunts infinits inconsistents, per la mateixa raó també pot haver conjunts finits que són incompatibles.
[1] Per més informació: http://www.math.tamu.edu/~dallen/history/infinity.pdf
[2] Hi ha un gran nombre de teoremes i axiomes demostrats i no demostrats utilitzats ara actualment. Més informació a http://www.math.tamu.edu/~dallen/history/infinity.pdf
[3] El concepte d’infinit: http://emis.u-strasbg.fr/journals/BAMV/conten/vol01/vol1n2p59-81.pdf
[4] Text original en anglés a: http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity_(philosophy)
[5] El concepte d’infinit en Leibniz i Lo>http://philpapers.org/archive/TIPLOH.pdf
[6] Informació original en anglés extreta de: http://www.math.dartmouth.edu/~matc/Readers/HowManyAngels/Blanc.html
[7] Infinit potencial vs. Infinit actual: http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito_potencial_e_infinito_actual
[8] La controversia entre Kronecker i Cantor sobre l’infinit: http://www.emis.de/journals/DM/v3/art6.pdf
[9] Cantor i l’inifinit: http://curiosidades.batanga.com/4696/georg-cantor-y-el-infinito
[10] Zenó va elaborar diverses paradoxes: http://ca.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_de_Zen%C3%B3
[11] Informació sobre Zenó a: http://ca.wikipedia.org/wiki/Zen%C3%B3_d%27Elea
[12] Més informació sobre Parmènides a: http://ca.wikipedia.org/wiki/Parm%C3%A8nides_d%27Elea
[1]Informació en relació a Anaximandre a: http://ca.wikipedia.org/wiki/Anaximandre_de_Milet
[2] Més informacció sobre el Surya Prajnapti a:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Jaina_mathematics.html
Aristòtil va ser un filòsof i científic grec nascut a Estagira, al nord de Grècia, l'any 384 abans de Crist.
Als divuit anys, es va unir a l'Acadèmia de Plató a Atenes, on va romandre fins a l'edat de trenta-set (c. 347 aC).
Els seus escrits abasten molts temes (incloent la física, la biologia, la zoologia, la metafísica, la lògica, l'ètica, l'estètica, la poesia, el teatre, la música, la retòrica, la lingüística, la política i el govern), i formen el primer sistema complet de filosofia occidental.
Les paradoxes de Zenó són una sèrie de paradoxes ideades per Zenó d’Alea[11] , per donar suport a la doctrina de Parmènides[12]: que les sensacions que obtenim del món són il·lusòries, i concretament, que no existeix el moviment. Racionalment, una persona no pot recórrer un estadi de longitud, perquè primer ha d'arribar a la meitat d'aquest, abans a la meitat de la meitat, però abans encara hauria de recórrer la meitat de la meitat de la meitat, i així eternament fins a l'infinit. D'aquesta manera, teòricament, una persona no pot recórrer un estadi de longitud, encara que els sentits mostrin que sí que és possible.
DF2: “Quantes terres té el faraó?”
Podem dir que les terres del faraó, comptades per unitats, i en forma de suma, abasten tot el territori conegut i per conèixer, ja que li correspon per dret diví el control del món, i responen a la fórmula següent: 1+1+1+1+...=? on la successió mai finalitza. Quantes terres té el faraó? (R: infinites)