top of page

El triangle de Pascal

El triangle de Pascal a l'Antiga Persa

 

La primera aproximació a l'ara anomenat triangle de Pascal o de Tartaglia la realitzà un erudit persa conegut popularment com Omar Khayyám[1] (Fig.39), en el seu llibre conegut com a “el Tractat”. En aquest llibre Omar crea un mètode general per resoldre equacions cúbiques i, increïblement, de graus superiors. Això ha fet plantejar-se a molts historiadors la possibilitat de que Omar tenia en possessió un teorema binominal propi. De qualsevol forma, Omar va ser el primer matemàtic en notar la importància de un teorema binominal.

 

 

 

 

El triangle de Pascal a la Xina Ancestral

 

La il·lustració xinesa més antiga existent de 'triangle de Pascal' és del llibre de Yang Xiangjie Jiuzhang Suanfa de 1261. Yang va reconèixer que el seu mètode per trobar arrels quadrades i arrels cúbiques utilitzant "el triangle de Yang Hui" (Fig. 40), va ser inventat pel matemàtic Jia Xian,  qui el va exposar al voltant de l'any 1100. Yang Hui (Fig.41) va publicar diversos llibres, i és en un d’aquests, específicament al llibre anomenat Practical rules on es dóna la primera explicació de com els xinesos resolien les equacions quadràtiques, incloent la tant famosa fórmula quadràtica.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

El triangle de Pascal a occident

 

A occident, Petrus Apianus (1495-1552) va ser el primer en publicar el triangle complet en el frontispici del seu llibre sobre els càlculs de negoci a l’any 1527. Aquest és el primer registre del triangle a Europa. Michael Stifel va publicar una part del triangle (de la segona a la columna central a cada fila) en 1544, descrivint-la com una taula de nombres figurats. A Itàlia, el triangle de Pascal es coneix com el triangle de Tartaglia, anomenat així pel matemàtic italià Niccolo Fontana Tartaglia (1500-1577), que va publicar sis files del triangle durant l’any 1556.

 

El triangle va arribar a ser conegut com el triangle de Pascal amb la finalització de Blaise Pascal (Fig.42) de  la seva obra Traité du triangle arithmétique a l’any 1654. Fent ús de la ja coneguda col·lecció de coeficients binomials, el matemàtic francès Pascal va aconseguir desenvolupar moltes de les propietats i aplicacions que tenia aquest triangle, i les va recollir en el seu escrit.

 

 

 

 El Triangle de Pascal (també conegut com a triangle de Tartaglia) deu el seu nom al filòsof i matemàtic Blaise Pascal (1623-1662). No obstant això, com en molts altres casos matemàtics, el seu origen és molt anterior. Es tenen referències que daten del segle XII a la Xina. De fet, algunes de les seves propietats ja van ser estudiades pel matemàtic xinès Yang Hui (segle XIII), així com el persa Omar Khayyam (segle XII). Principalment, el triangle va sorgir a diverses cultures com a mètodes per solucionar equacions quadràtiques.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Propietats del triangle de Pascal

 

El triangle de Pascal o de Tartaglia té diverses propietats.

 

Per files:

Ø  El número 1 de l’extrem superior del triangle es considera com la fila zero.

Ø  Cada número es genera a partir de la suma dels dos nombres que té a sobre.

Ø  Totes les files mostren una estructura simètrica, les de ordre parell tenen un número central únic, les de ordre senar tenen dos nombres idèntics al centre. La suma de cada semifila imparell és igual.

  • La suma dels nombres de cada fila és igual a 2 elevat al número de la fila.

  • Cada fila expressa les successives potències del número 11, les quatre primeres de forma clara, i a partir de la cinquena fila, si una casella està formada per més d'una xifra, hem de fer una senzilla suma portant-se alguna xifra.

  • Si ens situem a les files corresponents als nombres primers observarem que es formen triangles invertits amb els seus múltiples seguint un patró infinit.

  • Cada fila determina els coeficients que s’obtenen en desenvolupar les successives potències del binomi:(a + b)n

  • Cada terme del triangle es pot expressar com el resultat del número combinatori:

 

Per diagonals (segons la il·lustració):

  • La segona diagonal, situada al costat de la diagonal formada pels uns exteriors, conté l'evident successió de nombres naturals.

  • La tercera diagonal, acolorida en groc, determina la sèrie de nombres triangulars. L’algoritme que genera aquests nombres triangulars és: an  = n · (n + 1) / 2 

 

La sèrie dels nombres triangulars presenta moltes curiositats o propietats interessants, com: 

  • La suma de dos termes consecutius an  i  an-1 d’aquesta sèrie és igual al quadrat del número n. 

  • La resta de dos termes consecutius an  i  an-1 de la sèrie és igual al propi número n.

  • La diferència dels quadrats de dos termes consecutius an2  i  an-12 d’aquesta sèrie és igual al cub del número n.

  • A la quarta diagonal, acolorida en verd i formada per la sèrie: 1, 4, 10, 20, 35, etc., si restem els nombres fent salts dobles (amb l'antepenúltim) apareix la sèrie de nombres quadrats.

  • A la cinquena diagonal, acolorida en vermell i composta per la sèrie: 1, 5, 15, 35, 70, 126, etc., si restem els nombres fent salts triples apareix la suma del quadrats màgics d'ordre igual al lloc que ocupa el número a la sèrie.[2]

 

 

 

[1] Més informació a: http://ca.wikipedia.org/wiki/Omar_Khayyam

 

[2] Aplicacions i propietats interessants a: http://www.xtec.cat/~bfiguera/curios8.html

 

Ghiyath ad-Din Abul Fath, conegut com a Omar Khayyám va ser un erudit persa, filòsof, matemàtic , astrònom i poeta. També va escriure tractats sobre la mecànica, la geografia, la mineralogia, la música i la teologia islàmica. En el llibre conegut com a el Tractat, va escriure en la matriu triangular de coeficients binomials, coneguts posteriorment  com el triangle de Pascal.

 

 

Blaise Pascal va ser un matemàtic francès, físic, inventor, escriptor i filòsof cristià. Ell va ser un nen prodigi que va ser educat pel seu pare, un recaptador d'impostos a Rouen. La seva primera obra estava orientada  en les ciències naturals. A Rouen Pascal va començar a interessar-se  també per la física,  en especial per la hidrostàtica, i va emprendre les seves primeres experiències sobre el buit; va intervenir en la polèmica al voltant de l'existència de l'horror vacui en la naturalesa i va realitzar importants experiments (especialment el de Puy de Dôme en 1647) en suport de l'explicació donada per Torricelli al funcionament del baròmetre.

Yang Hui va ser un matemàtic xinès de Qiantang. Yang va treballar en els quadrats màgics, cercles màgics i el teorema del binomi. És molt conegut per la seva contribució al triangle de Pascal mitjançant el triangle que porta el seu nom: 'Triangle de Yang Hui'.

 

    bottom of page